Monty Hall, a kvantummechanika és a józan ész

Sokszor visszatérő híres, elgondolkodtató valószínűségi „paradoxon” a három ajtónyi nyeremény körül forgó Monty Hall probléma.

Monty Hall kecskéje

A neten számos helyen található nagyszerű leírása, bemutatása. A Wikipédiából emelnék ki egy idézetet, ami röviden megfogalmazza a kérdést:

Képzeljük el, hogy egy vetélkedőben szerepel, és három ajtó közül kell választania. Az egyik mögött kocsi (autó) van, a másik kettő mögött viszont kecske. Tegyük fel, hogy maga az 1. ajtót választja, mire a műsorvezető, aki tudja, melyik ajtó mögött mi van, kinyitja a 3. ajtót, megmutatván, hogy amögött kecske van. Ezután önhöz fordul, és megkérdezi: „Nem akarja esetleg mégis a 2. ajtót választani?” Vajon előnyére válik, ha vált?

A józan ész logikája azt sugallja, hogy a műsorvezető segítsége után így is, úgy is két ajtó közül kell választania a játékosnak, amiből csak az egyik mögött van a kívánt nyeremény, így 50% az esély akkor is, ha marad az eredeti választása mellett és akkor is, ha vált a másik ajtóra.

Azonban mivel a játékos 3 ajtó közül választ, 1/3 eséllyel választja elsőre az autót, a másik két ajtó mögött kétszer akkora, 2/3 esély a nagyobb nyereményre. Így ha Monty, a játékvezető segít, és a maradék ajtók közül feltár egy nem megfelelőt, a másik ajtóban fog „tömörülni” a nagyobb valószínűség. Váltani tehát minden ilyen esetben érdemes – a józan ész első sugallata ellenére.

Ha lenne lehetőségünk akárhányszor eljátszani ezt a játékot, le is tesztelhetnénk: játszanánk mondjuk 1000 alkalommal úgy, hogy nem váltunk, 1000 másik alkalommal pedig úgy, hogy meggondoljuk magunkat. Az eredmény tényleg az lesz, hogy ez utóbbi esetben 2/3 eséllyel miénk lesz a kívánt nyeremény (az előbbi esetben pedig csak az esetek harmadában).

A második játéktípus

Most vegyünk egy második játéktípust, amiben nem a játékos, hanem Monty választ először. Természetesen ő még mindig tudja, hogy melyik ajtó mögött van az autó, és szándékosan nem azt választja. Azt hiszem egyértelmű, hogy ebben az esetben a játékos számára tényleg 50% esély kínálkozik az autó megnyerésére. Monty ugyanis bár 3 közül választ, biztosan egy kecskés ajtóval csökkenti a lehetőségek számát, így tisztán két ajtó közül kell választania ezekután a játékosnak.

Ezt a játékot 1000 alkalommal megismételve átlagosan 500 esetben lenne képes a játékos autóhoz jutni.

A titoktartó játéktípus

Most képzeljünk el egy olyan játékot, melyben a játékos választ először, de megmakacsolja magát, és nem árulja el a játékvezetőnek, hogy melyik ajtót választotta. Mit tehet ilyenkor Monty? A műsornak folytatódnia kell... Választ tehát egyet, kinyitja (természetesen mindig kecskéset), és ezután kérdezi meg a játékostól, hogy az eredeti, el nem árult döntése mellett marad-e, vagy vált.

Milyen esetek lehetségesek?

Klasszikus esetben néha Monty pont azt választja, amit a játékos előtte. Ha ez történik, értelmetlenné válik a kérdés, hogy „váltunk-e?”, ebben az esetben a második játéktípushoz hasonlóan 50% esély marad az autóra.

Ha Monty véletlenül nem a játékos titkon választott ajtaját nyitja ki, nos, akkor sem válik a helyzet olyanná, mint az eredeti játékban. Nem kap a játékos 2/3 esélyt a váltással, hiszen a játékvezető a játékostól függetlenül választott, így nem a „maradék” kétharmadnyi esély tömörül egy ajtóba, hanem pusztán a nem kívánt jutalmat rejtő ajtók száma csökken eggyel.

Titoktartó játéktípus esetén tehát a játékosnak mindenféleképp 50% esélye lesz a kedvező nyereményre. 1000 próbálkozásból átlagosan 500 esetben fog nyerni a játékos, akár az eredetileg kigondolt ajtónál marad, akár vált. Ezeknek a „próbálkozásos” kísérleteknek az eredménye összhangban van a játék rendszerének valószínűségi tulajdonságaival.

Meglepetések kvantummechanikai szinten

A kvantumvilág tulajdonságait feltárni próbáló kísérletekben – például a spinkorrelációs kísérletekben – a fizikusok a fentiekhez hasonló módon, kísérletsorozatok eredményeinek eloszlását vizsgálva következtethetnek a belső események valószínűségére, ezáltal a vizsgált folyamatok belső összefüggéseire. A Bell-egyenlőtlenséghez kapcsolódó kísérleti eredmények azonban különleges módon alakulnak.

Képzeljük el ismét a titoktartó játéktípust, melynek szabályait betartva 1000 alkalommal próbálkozzunk. Az eredményeket utólagosan megvizsgálva azonban meglepő módon észrevesszük, hogy a játékvezető egy alkalommal sem választotta ugyanazt az ajtót, amit előzőleg titokban kiválasztottunk.

Ebben az esetben a legkézenfekvőbb azt feltételezni, hogy a műsorvezető valahogy mégis megtudta, hogy melyik volt az az ajtó, amit előzőleg titokban választottunk, és így mindig egy másikat választhatott. Ha tényleg ez történt, akkor pont ugyanaz történik, mint az eredeti játékban: a játékos választ először, majd ennek megfelelően nyit ajtót a játékvezető is. Ilyen esetben a játék nyerő eseményeinek eloszlása is ehhez illeszkedően fog alakulni: azokban az esetekben, amikor a játékos ajtót vált, szignifikánsan nagyobb eséllyel nyer.

De mivel magyarázható, ha az adatokból az derül ki, hogy a játékos nyerési esélye 50% körül alakul, váltástól függetlenül?

A kvantummechanikai elméletek többfajta, ámde matematikailag azonos eredményt képviselő választ próbálnak adni az ehhez hasonló kérdésekre.

Az alapvető megközelítése a problémának az, hogy a mikrorendszereket eredendően bizonytalanoknak tekintjük. A Monty Hall probléma rendszerében ez úgy illusztrálható, mintha azt mondanánk: a rendszer állapota és ezen belül az autó helyzete bizonytalan, egészen addig szuperpozíció állapotában van, amíg konkrétan ki nem zárjuk az összes lehetőséget, amíg „meg nem mérjük”, hogy az autó melyik ajtó mögött van.

Az alapvető bizonytalanságból eredő állapotlogikát pedig nem feltétlenül szükséges józan ész által is felfogható módon magyarázni, elegendő, ha a matematikai háttere illeszkedik a kísérletekben tapasztalt eredményekre. Miért is magyaráznánk tovább? Minden további magyarázat csak találgatás lenne, és ezáltal Occam borotvája ellen dolgozna.

A kvantummechanika interpretációjának azonban több népszerű magyarázata terjedt el. Az egyik a „sokvilág-elmélet”. Ez az elmélet úgy magyarázza a jelenséget, hogy minden lehetséges kimenetele megtörténik a kísérletnek, csak épp a mi világunkban azok az események realizálódnak, amelyek a megtapasztalt eredményekhez vezetnek.

Másik ismert interpretáció a retrokauzalitás, amely azt feltételezi, hogy a jövőbeli események korlátozhatják a múltat. A példánkhoz ez is jól illeszkedik: láthattuk, hogy a második játéktípusban, amikor Monty választott időben először, 50%-os esélyekről beszéltünk, csakúgy, mint a kvantummechanikai problémát szemléltető példánkban. A retrokauzalitás elve szerint megkérdőjelezhető, hogy az ok-okozati összefüggésben mi volt előbb: az ajtó titokban történt kiválasztása, az autó végleges leleplezése, vagy Monty nyitása?

A Pártrigger elv is ad józan ész által is feldolgozható magyarázatot az ilyen jelenségekre. Ezen elv szerint az ilyen állapotok kölcsönös függőségben vannak azért, mert a rendelkezésre álló alapelemek ehhez illeszkedően, speciálisan készítették elő és váltották ki az eseményeket.

A kvantummechanika törvényei sokszor ellentmondani látszanak a józan észnek. Max Tegmark szerint például az emberi elme genetikailag felkészületlen az ilyen gondolkodásmódra. „Az evolúció a fizikának csak azon elemeivel kapcsolatban ruházott fel minket intuíciókkal, amik a távoli őseink számára a túlélésükkel kapcsolatban értékesek voltak: például a repülő szikladarabok parabolikus pályájának kezelésével (ami megmagyarázza a vonzódásunkat a baseball-hoz is). Egy ősasszony, aki túlságosan sokat gondolkodik az anyag alapvető szerkezetén, alkalmatlan arra, hogy időben észrevegye a mögötte settenkedő tigrist, így génjei törlésre kerülnek a közösből.” – írja az Our Mathematical Universe című könyvében. Mindezek fényében elgondolkodtató, hogy a Monty Hall probléma esetén első intuíciónk mennyire hasonlatos eredményt sugall egyes kvantummechanikai jelenségek magyarázatához.